Prix De L'Option Binomial Avec Dividende

Nous nous préoccupons du problème de la tarification des options de la vanille simple avec des dividendes en espèces dans un modèle lognormal par morceaux. Dans le cas plain-vanille nous proposons des méthodes avec des limites fines et inférieures fines du véritable prix binomial. I Introduction Les actifs d'actions paient souvent des dividendes à des moments discrets et cela produit des modifications importantes sur les procédures numériques impliquées dans le prix de l'option. Pour les variantes simples de vanille, plusieurs formules proches et techniques d'approximation ont été étudiées dans des articles précédents (voir par exemple Haug-Haug-Lewis 5. Meyer 8. Bos-Wandemark 3. Bos-Gairat-Shepeleva 2. Beneder-Vorst 1). Ces approximations, comme montré dans (9), ne sont pas très précises. En outre, Wilmott et al. 10 a présenté une approche par différence finie des options de prix en présence de dividendes en espèces. Vellekoop-Nieuwenhuis 9 a présenté un arbre Cox-Ross-Rubinstein (CRR) modifié 4 qui surmonte la propriété non recombinante de l'arbre CRR standard quand on considère des dividendes discrets. Ces algorithmes sont basés principalement sur des techniques d'interpolation appropriées aux dates de dividende. Nous introduisons différentes méthodes d'arbre qui couvrent les options européennes et américaines de la vanille simple en présence de dividendes discrets. Dans le cas de la vanille simple, nous proposons un algorithme basé sur l'approche des points singuliers introduite dans 7. Cette technique nous permet d'obtenir une mince limite supérieure et inférieure du véritable binôme prix calculé efficacement. Plus précisément, nous fournissons, à chaque étape du temps de l'arbre, une représentation continue du prix de l'option en fonction linéaire par morceaux du cours de l'action. Cette fonction n'est caractérisée que par un ensemble de points, appelés points singuliers 8221, qui peuvent facilement être calculés récursivement par rétro-induction. Bien que le nombre de points singuliers augmente rapidement à chaque date de dividende, leur nombre peut être considérablement réduit d'une manière simple, en contrôlant en même temps l'erreur impliquée par la procédure d'élimination et en fournissant des estimations supérieures et inférieures. Le contrôle de l'erreur permet également d'obtenir immédiatement la convergence de la méthode à la valeur continue. Le document est organisé comme suit: dans la section 1, nous présentons le modèle de l'actif à risque, dans la section 2 nous présentons la technique des points singuliers. Dans la section 3, nous introduisons l'algorithme de points singuliers pour le prix des options européennes et américaines avec des dividendes en espèces. Dans la section 4, nous présentons les résultats numériques. 1 Le modèle Dans cet article, nous considérons un modèle de marché où l'évolution d'un actif risqué, entre les dates de dividende impliquant un paiement de dividende en espèces, est régie par l'équation différentielle stochastique de Black-Scholes où (B t) 0 x2264 t x2264 T Un mouvement brownien standard, sous la mesure de risque neutre Q. La constante non négative r est la force du taux d'intérêt et x03C3 est la volatilité de l'actif risqué. Pour établir le prix de la vanille simple et des options de barrière dans ce modèle lognormal par morceaux avec des dividendes discrets, nous considérons maintenant une approche binomiale. Soit n le nombre d'étapes de l'arbre binomial et x0394 T l'intervalle de temps correspondant. Afin de simplifier la construction de l'arbre binomial nous supposons dans la suite que. I 1. n D 1. est un entier (sinon des interpolations appropriées dans la variable de temps sont requises). Le processus binomial discret standard (sans dividendes) est donné par où les variables aléatoires Y 1. X2026, Y n sont indépendants et identiquement distribués avec des valeurs en. Notons x03C0 x2119 (Y n u). L'arbre de Cox-Ross-Rubinstein correspond au choix u e x03C3 et Afin de prendre en compte la présence de dividendes, à chaque instant t i. I 1. n D. Nous devons soustraire le montant de dividende correspondant D i à chaque noeud de l'arbre. Remarquons que l'arbre ainsi construit est non recombiné. En effet, la présence de dividendes conduit à un nouvel arbre à partir de chaque nœud à chaque date de paiement de dividende. 2 L'approche par points singuliers La tarification d'une option européenne ou américaine peut être effectuée par une équation de programmation dynamique en arrière utilisant l'algorithme d'arbre 8221pure8221 (voir par exemple la description donnée dans Hull 6). Cependant, en raison de la propriété non recombinante de l'arbre binomial, la mise en œuvre directe de l'algorithme conduit à une procédure inefficace. Remarquez que dans le cas m pour tout i 1. n D 1. la complexité computationnelle de la procédure est m n D 2. Wilmott et al. 10 suggèrent d'utiliser une technique d'interpolation linéaire afin de rendre l'arbre recombinant. Plus tard, Vellekoop et Nieuwenhuis 9 ont prouvé la convergence à la valeur continue d'une approche binomiale similaire tant en Europe qu'en Amérique. Nous proposons ici une approche différente, basée sur la technique des points singuliers, introduite en 7. Ce qui permet d'approximer le prix binomial pur avec un niveau d'erreur a-priori fixe. La procédure introduite en 7 peut être adaptée de manière simple à ce contexte. Dans la suite, par souci d 'exhaustivité et afin de clarifier les différences par rapport à 7. Nous le présentons en détail. D'après les notations introduites dans 7, nous utiliserons la définition suivante Définition 1. Considérons un ensemble de points: (x 1, y 1). (X n, y n). Telle que et la fonction linéaire par morceaux f (x). X x2208 a, b. Obtenue par interpolation linéaire des points donnés. Les points (x 1, y 1). (X n, y n) (qui caractérisent complètement f), seront appelés points singuliers de f. Tandis que x 1. X n seront appelées valeurs singulières de f. Remarquons que f est convexe si et seulement les pentes sont croissantes, c'est-à-dire x03B1 i x2264 x03B1 i 1 pour tout i 1. n - 1. L'approche du point singulier permet de construire les limites supérieure et inférieure du prix d'option dans un simple Comme indiqué dans la remarque suivante (voir également l'interprétation géométrique des figures 1 et 2). Remarque 1. Soit f une fonction linéaire et convexe par morceaux définie sur a, b. Et soit C 1, y 1). (X n, y n) soit l'ensemble de ses points singuliers. Ensuite: a) Retrait d'un point (x i, y i). 2 x2264 i x2264 n - 1. à partir de l'ensemble C. la fonction linéaire par morceaux résultante. Dont l'ensemble des points singuliers est C i, y i). Est de nouveau convexe en a, b et on a: b) Notons (x, y) l'intersection entre la droite joignant (x i - 1, y i - 1). (X i, y i) et celle qui unit (x i 1, y i 1). (X i 2, y i 2). 2 x2264 i x2264 n - 2. Si l'on considère le nouvel ensemble de n - 1 points singuliers, la fonction linéaire par morceaux associée est à nouveau convexe sur a, b et nous avons: Figurex00A01: Estimation supérieure: x 4 a été supprimée. Figurex00A02: Estimation inférieure: x 3 et x 4 ont été supprimés, x a été inséré. 3 Options Plaine-vanille Considérons une option d'achat européenne avec des dividendes discrets. L'approche par points singuliers consiste en un processus en arrière qui permet d'obtenir une représentation continue du prix d'option à chaque pas de temps en tant que fonction continue linéaire par morceaux de l'actif sous-jacent. Ces fonctions de prix se caractérisent par leurs points singuliers. La procédure de tarification dépend donc exclusivement de la connaissance des points singuliers à chaque pas de temps de l'arbre. Il est important de noter que la procédure fournit exactement la valeur binomiale pure. Cependant il permet d'obtenir une amélioration importante, en fait le prix binomial peut être approché en supprimant quelques points singuliers suivant la procédure décrite dans la remarque 1 et en donnant en même temps un contrôle de l'erreur. Nous passons maintenant à la description de la fonction de prix v i (S) à chaque pas de l'arbre. À cette fin, nous devons évaluer le minimum et le maximum de l'actif risqué à l'échéance. Ces maximum et minimum peuvent être évalués inductivement sur l'arbre. En désignant par S i min. S i max le minumum et la valeur maximale du sous-jacent à l'étape i. I 0 n. On a A la maturité, le prix de l'option, en fonction de l'actif sous-jacent S. est défini en continu par v n (S) est une fonction convexe linéaire par morceaux caractérisée par les trois points singuliers (A n 1, P n 1). L 1. 2. 3 donné par: Clairement, si K x2044x2208 (S n min, S n max) les points singuliers se réduisent à deux. A l'étape i n - 1 on a On peut conclure que v n - 1 (S) est aussi linéaire et convexe par morceaux. Les valeurs singulières de v n - 1 sont S n - 1 min. S n - 1 max. Et finalement Kd. Ku s'ils appartiennent à (S n - 1 min, S n - 1 max). Afin de calculer les prix des options correspondantes, nous devons appliquer la formule (3). A cet effet, on remarque par exemple que v n - 1 (Ku) e - r x0394 Tx03C0v n (Ku 2) (1 - x03C0) v n (K). Or v n (K) est déjà connu, alors que v n (Ku 2) doit être calculé par linéarité. La même procédure vaut également pour les autres points singuliers. Nous procédons alors itérativement de la même façon pour i n - 2. 0. Plus précisément, nous évaluons les valeurs singulières de v i (S) en considérant les valeurs singulières de v i 1 (S) multipliées par le facteur u et par le facteur d. Ces valeurs deviennent des valeurs singulières de v i (S) si elles appartiennent au domaine (S i min, S i max). L'évaluation des prix des options correspondantes doit être effectuée de nouveau par l'équation (3). Comme précédemment, cette formule a besoin du calcul de v i 1 (Su) et v i 1 (Sd). L'un d'eux sera calculé directement alors que le second doit être calculé par linéarité. Aux dates de dividende, la procédure précédente nécessite un traitement supplémentaire. Laisser en fait t j une date de dividende et laisser (A i 1, P i 1). (A i L, P i L) les points singuliers associés à cette date et évalués par la procédure précédente. La présence du dividende réduit les valeurs boursières du montant du dividende D j. En retournant dans le temps, il faut augmenter les valeurs singulières de ce montant. Par conséquent, le nouvel ensemble de valeurs singulières devient Cette procédure induit un grand accroissement du nombre de points singuliers, en fait, en raison de la propriété non recombinante, le nombre de points singuliers pourrait doubler à chaque étape suivant une date de dividende. Enfin, à l'étape i 0, on obtient un seul point singulier: (s 0, P 0 1). P 0 1 fournit le prix binomial pur de l'option d'achat européenne avec des dividendes discrets multiples. Dans le cas américain, la fonction v i (S) devient A la date du dividende t j. En vertu du décalage dû au dividende, v i c (S) doit être calculé par conséquent à des dates de dividende nous appliquons d'abord le changement de l'actif, puis l'optimalité au début. Cette commande dans le calcul est due au fait qu'il est pratique d'exercer éventuellement juste avant les dates de dividende. Cela implique également que pour les options de vente l'ordre doit être inversé: après l'évaluation de la valeur de continuation, nous évaluons l'optimalité de l'exercice précoce, puis nous appliquons le décalage de dividende. A chaque pas i v i (S) est encore linéaire par morceaux et convexe, d'où la procédure expliquée dans le cas européen se maintient. La seule différence est liée au calcul des points singuliers. En effet, il faut d'abord évaluer les points singuliers de v i c (S). Alors nous devons évaluer les points singuliers de v i (S). Par convexité, on peut le faire en considérant trois cas possibles: S i max - K x2264 v i c (S i max) puis v i x2261 v i c. De sorte que les points singuliers ne changent pas S i max - K x003E v i c (S i max) et S i min - K x 2265 v i c (S i min). Alors v i (S) x2261 S - K. Il n'y a donc que deux points singuliers: les extrema. S i max - K x003E v i c (S i max) et S i min - K x003C v i c (S i min). Il existe alors une valeur unique S où la valeur de continuation coïncide avec l'exercice précoce. Les points singuliers de v i sont maintenant: tous ceux dont la valeur singulière est inférieure à S. alors (S. S - K) et (S i max, S i max - K) (voir Figure 3). Figurex00A03: Le point S a été inséré, A 4 et A 5 ont été supprimés. Cet argument peut être appliqué à chaque étape i n - 1. 0. Ceci permet de calculer P 0 1 qui fournit le prix binomial américain pur associé à l'arbre avec n étapes. La technique présentée précédemment est inefficace d'un point de vue informatique en raison du nombre élevé de points singuliers générés à chaque date de dividende. Cependant des modifications simples permettent de réduire drastiquement le nombre de points singuliers fournissant une limite supérieure et une limite inférieure de la valeur binomiale exacte. Afin d'obtenir une limite supérieure du prix binomial pur, nous supprimons simplement quelques points singuliers à chaque pas de temps. La remarque 1.a garantit que la valeur ainsi obtenue est une estimation supérieure du prix binomial pur. Les critères pour supprimer les points singuliers sont les mêmes que ceux présentés en 7. Plus précisément, considérons l'ensemble des points singuliers C i 1, P i 1). (A i L, P i L) à l'étape i. Et la fonction de valeur de prix correspondante v i (S). Soit v x2032 i (S) la fonction de valeur de prix obtenue en supprimant un point (A il, P il) de C. Nous avons (voir Figure 4). Références 1 x00A0x00A0x00A0 Beneder, R. Vorst, T. (2001): Options Sur les dividendes payant des actions. Développements récents en finance mathématique (Shanghai). Riverhedge, NJ: Éditions scientifiques Word. 2 x00A0x00A0x00A0 Bos, R. Gairat, A. Shepeleva, A. (2003): Traitement de divedends discrets. Risk Magazine 16. 109-112. 3 x00A0x00A0x00A0 Bos, R. Wandemark, S. (2002): Finessing dividendes fixes. Risk Magazine 15. 157-158. 4 x00A0x00A0x00A0 Cox J. Ross S. A. Rubinstein M. (1979): Prix d'option: Un appoach simplifié Journal of Financial Economics 7. 229-264. 5 x00A0x00A0x00A0 Haug, E. G. Haug, J. Lewis, A. (2003): Retour à l'essentiel: une nouvelle approche du problème du dividende discret. Le magazine de Willmott. 37-47. 6 x00A0x00A0x00A0 Hull, J. (2000). Options, contrats à terme et autres produits dérivés. Quatrième édition, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. 7 x00A0x00A0x00A0 Gaudenzi, M. Lepellere, M. A. Zanette, A. (2007): La méthode du point singulier pour la tarification des options dépendantes du chemin. Document de travail DFIMF 1. Université d'Udine. 8 x00A0x00A0x00A0 Meyer, G. H. (2001): L'investigation numérique de l'exercice précoce dans les puts américains avec des dividendes discrets. Journal of Computational Finance Vol. 5, 2. 9 x00A0x00A0x00A0 Vellekoop, M. H. Nieuwenhuis, J. V. (2006). Une tarification efficace des dérivés sur les actifs à dividendes discrets. Applied Mathematical Finance Vol.13, 3. 265-284. 10 x00A0x00A0x00A0 Wilmott, P. Dewynne, J. Howison, S. (1993). Prix ​​des options: modèles mathématiques et calcul. Nous avons montré des calculs binomiaux en raison d'un mouvement ascendant et descendant au chapitre 5. Cependant, la tarification binomiale des options peut également être considérée comme une approximation d'une distribution continue du temps par un choix judicieux des constantes et . Pour ce faire, on doit se demander: Est-il possible de trouver une paramétrisation (choix d'et) d'un processus binomial qui a les mêmes propriétés de série chronologique qu'un processus (temps continu) avec la même moyenne et la même volatilité? Façons de construire ceci, donc on utilise un degré de liberté en imposant que les nœuds se reconnectent. En imposant. Pour évaluer une option à l'aide de cette approche, nous spécifions le nombre de périodes pour fractionner le temps jusqu'à l'échéance, puis calculons l'option en utilisant un arbre binomial avec ce nombre d'étapes. Nous redéfinissons également les probabilités de risque neutre Pour trouver le prix de l'option, vous roulez en arrière: Au nœud. Calculer le prix d'appel en fonction des deux résultats possibles à la fois. Par exemple, s'il y a une étape, trouvez le prix de l'appel à l'instant 0 comme Avec plus de périodes on roulera en arrière comme discuté au chapitre 5 Considérez les options sur les titres sous-jacents ne payant pas de dividende. Pour les options européennes, les arbres binomiaux ne sont pas très utilisés, puisque le modèle de Black Scholes donnera la bonne réponse, mais il est utile de voir la construction de l'arbre binomial sans les contrôles de l'exercice précoce, ce qui est le cas américain. L'algorithme informatique d'un binôme dans la suite mérite quelques commentaires. Il n'y a qu'un seul vecteur de prix d'appel, et l'on peut penser qu'il faut en avoir deux, un à la fois et un autre à la fois. (Essayez d'écrire la façon dont vous le résoudre avant de regarder l'algorithme ci-dessous.) Mais en utilisant le fait que les branches se reconnecter, il est possible de s'en tirer avec l'algorithme ci-dessous, en utilisant un tableau moins. Vous pouvez vérifier comment cela fonctionne. C'est aussi un moyen utile de s'assurer que l'on comprend le prix des options binomiales. Une option américaine diffère d'une option européenne par la possibilité d'exercice. Une option américaine peut être exercée à tout moment jusqu'à la date d'échéance, contrairement à l'option européenne, qui ne peut être exercée qu'à l'échéance. En général, il n'y a malheureusement pas de solution analytique au problème des options américaines, mais dans certains cas il peut être trouvé. Par exemple, pour une option d'achat américaine sur le stock sans dividendes, le prix américain est le même que celui de l'appel européen. C'est dans le cas des options américaines, permettant la possibilité d'un exercice précoce, que les approximations binomiales sont utiles. À chaque nœud, nous calculons la valeur de l'option en fonction des prix des périodes suivantes, puis nous vérifions la valeur exercée par l'exercice de l'option maintenant. Le Code 9.2 illustre le calcul du prix d'un appel américain. En fait, pour ce cas particulier, le prix américain sera égal à l'Européen. Estimation des partiels. Il est toujours nécessaire de calculer les dérivés partiels ainsi que le prix de l'option. Les méthodes binomiales nous donnent des façons de les approximer aussi. Comment les trouver dans le cas binomial sont décrits dans Hull (2003). Le code ci-dessous est pour le cas de non-dividende. , Le dérivé du prix de l'option par rapport au sous-jacent. Le cas le plus simple d'un paiement est le même que celui que nous avons vu dans l'affaire Black Scholes, un paiement continu de. Si l'actif sous-jacent est un stock de dividendes versés à l'échéance de l'option, les modalités de l'option ne sont pas ajustées pour refléter ce paiement en espèces, ce qui signifie que la valeur de l'option reflète les paiements de dividendes. Dans le modèle binomial, l'ajustement des dividendes dépend du fait que les dividendes sont discrets ou proportionnels. Pour les dividendes proportionnels, nous multiplions simplement par un facteur d'ajustement les cours des actions à la date ex-dividende, les nœuds dans l'arbre binomial seront reliés à nouveau, et nous pouvons utiliser la même procédure de roulement arrière. Le problème est quand les dividendes sont des montants en dollars constants. Dans ce cas, les nœuds de l'arbre binomial ne se relient pas, et le nombre de branches augmente de façon spectaculaire, ce qui signifie que le temps nécessaire pour effectuer le calcul est augmenté. L'algorithme présenté ici implémente ce cas, sans couplage, en construisant un arbre binomial jusqu'à la date ex-dividende, puis, aux nœuds terminaux de cet arbre, s'appelle lui-même avec un paiement de dividende moins, et le temps jusqu'à maturité le temps Restant à la date ex-dividende. Faire cela calcule la valeur de l'option à la date ex-dividende, qui est ensuite comparé à la valeur de l'exercice juste avant la date ex-dividende. C'est un joli exemple d'utilisation de la récursivité dans la simplification des calculs, mais comme avec la plupart des solutions récursives, il a un coût en temps de calcul. Pour les grands arbres binomiaux et plusieurs dividendes, cette procédure prendra beaucoup de temps. Dans ce cas, il sera beaucoup plus rapide pour éviter les appels récursifs. Examinez (Hull, 1993, p. 347) les moyens d'y parvenir en faisant quelques petites hypothèses. Pour les options américaines, en raison de la faisabilité de l'exercice précoce, le modèle binomial est utilisé pour approximer la valeur de l'option. Options de devises étrangères Pour les options américaines, la méthode habituelle est l'approximation à l'aide d'arbres binomiaux, la vérification de l'exercice précoce en raison de la différence de taux d'intérêt.